Arrotondamenti comodi
Nel volumetto della collana Matematica sui sistemi di numerazione ho parlato di basi di numerazione piuttosto esotiche, anche se a volte con una certa utilità. Oggi aggiunto qualche informazione in più che ho da poco scoperto leggendo il blog di John D. Cook.
Come probabilmente sapete, gli arrotondamenti non sono mai una cosa semplice, soprattutto se dovete fare una serie di operazioni consecutive. Generalmente si arrotonda per difetto se la cifra successiva a quella che arrotondiamo è 0, 1, 2, 3, 4 e si arrotonda per eccesso se è 6, 7, 8, 9 oppure 5 seguito da qualcos’altro. E se siamo proprio a metà, quindi dobbiamo arrotondare il “semintero” 42,5? Wikipedia (e i libri di testo dei miei figli concordano) afferma che se la cifra precedente il 5 è pari arrotondiamo per difetto e quindi abbiamo 42, altrimenti arrotondiamo per eccesso e da 43,5 otteniamo 44. Il tutto sperando che i numeri che arrotondiamo siano distribuiti casualmente e quindi non abbiamo un bias di arrotondamento
Sarebbe bello avere una regola più semplice, almeno se dobbiamo arrotondare a un numero intero, vero? Nel caso dei numeri seminteri non possiamo farci molto, ma in generale entra in gioco la base ternaria bilanciata, quella dove le cifre possibili sono 1, 0 e −1 (che per comodità scriviamo T, spostando il segno meno in alto…) e quindi per esempio 42 si scrive 1TTT03bil, cioè 81 − 27 − 9 − 3. È facile dimostrare che la più grande parte frazionaria positiva è 0,11111…3bil mentre la più piccola parte frazionaria negativa è 0,TTTTT…3bil. Se fate i conti, scoprirete che il limite della somma vale rispettivamente 1/2 e −1/2. Quindi arrotondare in questo caso equivale semplicemente a troncare.
Cook aggiunge anche che in generale, se usassimo una base di numerazione dispari anziché la nostra base 10, non avremo il problema del doppio arrotondamento. Supponiamo di avere 9876,5432i e di doverlo arrotondare alla prima cifra decimale. Avremmo così 9876,5 perché la parte seguente del numero comincia con 4. Se però ora arriva un contrordine e ci viene detto di arrotondare a un numero intero, allora dobbiamo arrotondare per difetto (la cifra precedente al 5 è pari) e troviamo 9876. Peccato che se avessimo subito arrotondato a un numero intero avremmo trovato 9877. Non è bello, vero? Beh, in una base dispari questo non può capitare, perché n + 1/2 non è esprimibile come numero dallo sviluppo finito e quindi siamo certi che gli arrotondamenti sono tutti nella stessa direzione. D’accordo, non sarà una buona ragione per cambiare base di numerazione, ma è comunque carino, no?