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https://www.mathe-im-advent.de/ - Klassen 4-9

„Mathe im Advent“ bietet jedes Jahr vorweihnachtlichen Mathezauber für Schülerinnen der Klassenstufen 4-6 und 7-9. Auch Früh- und Spätstarterinnen ab Klasse 2 und bis Klasse 10 können teilnehmen. Täglich könnt ihr alleine oder im Klassenverband die beliebten Mathewichtel-Aufgabengeschichten aus dem Weihnachtsdorf lösen. Jährlich begeistern sich ca. 150.000 Kinder, Jugendliche, Eltern und Lehrkräfte für die Knobelaufgaben. Mitmachen lohnt sich!

https://www.mathekalender.de/wp/de/ - Klassen 10+

Der MATH+ Adventskalender bietet pfiffigen Schülerinnen ab der 10. Klasse sowie Studierenden, Lehrkräften und allen Interessierten faszinierende Einblicke in aktuelle Mathematikforschung und den Berufsalltag von Mathematikerinnen. Mit den kniffeligen Aufgaben laden wir ein, über den Schulstoff hinaus die Kraft und Schönheit der Mathematik zu entdecken. In diesem Jahr können sich auch ganze Klassen und Kurse zur Teilnahme am MATH+ Adventskalender anmelden.

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Ein einziger Parameter entscheidet über die vielfältige Form der Tropfsteine

Schlanke Säulen, dickliche Kegel oder komplexe „Schichttorten“: Eine mathematische Formel verrät erstmals, was die vielfältigen Formen der Tropfsteine bestimmt. Entscheidend ist demnach nur ein Parameter: die sogenannte Damköhler-Zahl. Sie repräsentiert die Fließrate der Tropfen, das Ausfällen des gelösten Kalks und die Grundfläche des Stalagmiten. Ein Wert über, unter oder gleich 1 bestimmt, ob ein Stalagmit säulenförmig, spitzkegelig oder flach wird. [...]

Paper: (Link funktioniert noch nicht)

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TL;DR von Le Chat - Mistral AI:

Die Umordnungs-Ungleichung zeigt: Multipliziert man zwei geordnete Zahlenfolgen gleichsinnig (kleinste mit kleinsten, größte mit größten Werten), wird das Ergebnis maximal – bei gegensätzlicher Anordnung minimal. Das Prinzip hilft, Aufgaben und Ressourcen optimal zuzuordnen, etwa im Sport, in der Wirtschaft oder Mathematik. Kurz: Richtige Ordnung steigert Effizienz.

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Zusammenfassung durch Le Chat - Mistral AI:

Unendlichkeiten sind einfacher – und rätselhafter – als endliche Zahlen

Unendlichkeiten folgen eigenen, überraschend simplen Rechenregeln: Addiert oder multipliziert man zwei Unendlichkeiten, ist das Ergebnis stets die größere der beiden. Doch hinter dieser Einfachheit verbirgt sich ein tiefes Geheimnis. Georg Cantor bewies, dass es nicht nur eine, sondern unendlich viele Unendlichkeiten gibt – angefangen bei der kleinsten (ℵ₀, die Menge der natürlichen Zahlen) bis hin zu immer größeren, die durch Potenzmengen entstehen.

Doch viele Fragen bleiben unbeantwortbar. Die berühmte Kontinuumshypothese – ob es eine Unendlichkeit zwischen ℵ₀ und der Unendlichkeit der reellen Zahlen gibt – ist mathematisch nicht entscheidbar. Noch seltsamer: Bei der Berechnung bestimmter singulärer Unendlichkeiten (ℵω) taucht plötzlich eine Vier auf, wo sonst nur 0, 1, 2 oder Unendlichkeit vorkommen. Warum, weiß niemand. Die Mathematik stößt hier an Grenzen, die vielleicht nie überwunden werden.

Fazit: Mit Unendlichkeiten rechnet es sich leicht – doch ihre wahre Natur bleibt ein Rätsel.

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Vereinfachte Rechenfunktionen helfen bei der Lösung von Drei- und Mehrkörper-Problemen in der Chemie

Komplexe Interaktionen: Sogenannte Drei- oder Mehrkörper-Wechselwirkungen gibt es nicht nur im Weltall, sondern auch in der Chemie – als Interaktion zwischen Atomen oder Molekülen. Mathematiker haben nun einen Weg gefunden, das komplexe Verhalten solcher Teilchen einfacher zu berechnen und die Rechenzeit für Simulationen dieser Dreikörperprobleme massiv zu verkürzen. Dadurch lassen sich beispielsweise die atomaren Wechselwirkungen in einem Kristall oder Effekte in der Quantenphysik präziser und schneller beschreiben als je zuvor.

Paper: Exact lattice summations for Lennard-Jones potentials coupled to a three-body Axilrod–Teller–Muto term applied to cuboidal phase transitions | PDF

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Zusammenfassung durch Le Chat - Mistral AI:

Tränende Augen beim Zwiebelschneiden lassen sich mit Mathematik und der richtigen Technik reduzieren. Verantwortlich für die Tränen ist der Stoff Propanthial-S-oxid, der beim Schneiden freigesetzt wird. Studien zeigen: Ein scharfes Messer und langsames, bedachtes Schneiden verringern die Menge und Reichweite der reizenden Tröpfchen deutlich – schnelles Hacken verschlimmert das Problem.

Für gleichmäßige Zwiebelstücke empfiehlt sich ein gezielter Schnittwinkel. Statt einfach vertikal oder radial zu schneiden, sollte man auf einen Punkt etwa 56 % unterhalb des Zwiebelradius zielen. Diese „Zwiebel-Konstante“ sorgt für möglichst gleich große Stücke. Perfektion ist aber nicht nötig: Auch mit etwas Abweichung gelingt das Ergebnis.

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Die moderne Mathematik basiert auf der Mengenlehre, die Unendlichkeiten umfasst. Finitisten lehnen Unendlichkeiten ab und argumentieren, dass alles im Universum begrenzt ist. Sie haben eine alternative Mathematik entwickelt, die nur endlich konstruierbare Größen umfasst.

Die Mengenlehre ermöglicht den Vergleich unendlich großer Mengen. Finitisten lehnen die Axiome der Mengenlehre ab, die Unendlichkeiten zulassen, da sie zu kontraintuitiven Ergebnissen führen. Sie glauben, dass mathematische Objekte nur existieren, wenn sie aus natürlichen Zahlen mit endlichen Schritten konstruiert werden können. Dies hat weitreichende Konsequenzen, wie die Ablehnung irrationaler Zahlen.

Ohne den Satz vom ausgeschlossenen Dritten ergeben sich Schwierigkeiten in mathematischen Beweisen. Dennoch hoffen einige Physiker, dass eine endliche Mathematik das Universum besser beschreiben könnte. Die Bemühungen sind noch nicht weit fortgeschritten, aber der Ansatz ist faszinierend.

-- Zusammenfassung durch Le Chat - Mistral AI

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Mathematik basiert auf festen Regeln, die jedoch nie vollständig sein können. Kurt Gödels Unvollständigkeitssatz zeigt, dass es in jedem ausreichend starken logischen System wahre, aber unbeweisbare Aussagen gibt. Ein Beispiel dafür ist die Goodstein-Folge.

Die Goodstein-Folge veranschaulicht dieses Phänomen. Sie beginnt mit einer natürlichen Zahl und durchläuft eine Reihe von Schritten, bei denen die Zahl zunächst stark anwächst, um schließlich auf Null zu fallen. Dieser Prozess endet immer bei Null, unabhängig vom Startwert, was Reuben Louis Goodstein 1944 bewies.

Interessanterweise kann dieser Satz nicht mit den grundlegenden Axiomen der Peano-Arithmetik bewiesen werden, die die natürlichen Zahlen und ihre Operationen definieren. Dies zeigt, dass selbst einfache arithmetische Aussagen stärkere logische Systeme erfordern können, die jedoch ebenfalls nie vollständig sein können. Die Goodstein-Folge illustriert somit die Grenzen der mathematischen Beweisbarkeit und die Komplexität von Gödels Unvollständigkeitssatz.

-- Zusammenfassung durch Le Chat - Mistral AI

Weiterer Post zum Thema:

• 17-jährige Schülerin löst ein jahrzehntealtes Mathematikproblem

Paper: A Counterexample to the Mizohata-Takeuchi Conjecture | PDF

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Tetris, ein seit über 40 Jahren beliebtes Spiel, zeigt erstaunliche mathematische Komplexität. Es geht darum, herabfallende Bausteine so anzuordnen, dass sie das Spielfeld lückenlos füllen. Im Gegensatz zu klassischen Parkettierungsproblemen verschwinden bei Tetris vollständig gefüllte Reihen.

Mathematiker haben festgestellt, dass die Frage, ob sich ein Tetris-Spiel lösen lässt, zu den NP-vollständigen Problemen gehört, die schwer zu lösen, aber leicht zu überprüfen sind. Tetris wurde mit dem 3-Partitionsproblem in Verbindung gebracht, was seine hohe Komplexität zeigt.

Noch bemerkenswerter ist, dass Tetris unentscheidbare Eigenschaften besitzt. Unter bestimmten Bedingungen ist es unmöglich vorherzusagen, ob ein Spielfeld geleert werden kann, selbst mit unendlicher Rechenleistung. Diese Unentscheidbarkeit ist mit den Sätzen von Kurt Gödel verbunden.

Trotz dieser Komplexitäten bleibt Tetris ein beliebtes Spiel, das weiterhin neue Rekorde und Spieltechniken hervorbringt. Die Geschwindigkeit des Spiels lässt wenig Raum für mathematische Überlegungen, doch die dahinterliegende Mathematik macht Tetris besonders faszinierend.

-- Zusammenfassung durch Le Chat - Mistral AI

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Johannes Kepler, ein bedeutender Wissenschaftler, irrte sich in der Annahme, das Geheimnis der Welt entschlüsselt zu haben. Sein Fokus lag auf dem Sonnensystem, das zu seiner Zeit nur aus sechs bekannten Planeten bestand. Kepler glaubte, die Anordnung der Planetenbahnen durch die fünf platonischen Körper erklären zu können, eine Idee, die sich als falsch herausstellte, aber dennoch seinen Weg zur Entdeckung der Planetenbewegungsgesetze ebnete.

Ein interessantes mathematisches Konzept, das mit Kepler in Verbindung gebracht wird, ist die Kepler-Bouwkamp-Konstante. Diese Konstante ergibt sich aus einer geometrischen Konstruktion, bei der abwechselnd Kreise und regelmäßige Vielecke ineinander eingeschrieben werden. Der Radius des innersten Grenzkreises wird durch diese Konstante beschrieben, die jedoch eher historische als mathematische Bedeutung hat.

Christoffel Jacob Bouwkamp veröffentlichte 1964 einen Artikel über diese Konstruktion und verbesserte die Berechnungsmethoden. Obwohl Kepler selbst nichts zu dieser Konstante beitrug, trägt sie seinen Namen, was auf seine mutigen und wegweisenden Ideen zurückzuführen ist. Keplers Ansatz, die Welt rational und wissenschaftlich erklären zu wollen, war für seine Zeit revolutionär und bleibt bis heute inspirierend.

-- Zusammenfassung durch Le Chat - Mistral AI